Корзина
47 отзывов
ООО "Гидро-Максимум"
+380503713700Инженер гидравлик Алина
+380675522377Инженер гидравлик Даниил
+380675710037Инженер гидравлик Алина
Добавить отзыв
Корзина

Основное уравнение гидростатики. Гидростатическое давление и его свойства

Основное уравнение гидростатики. Гидростатическое давление и его свойства

Основное уравнение гидростатики

Рассмотрим тот основной случай равновесия жидкости, когда на нее действует лишь одна массовая сила – сила тяжести. Свободная поверхность жидкости в этом случае, как известно, является горизонтальной плоскостью. Пусть жидкость содержится в сосуде (рис. 2.2) и на ее свободную поверхность действует давление p0. Найдем величину гидростатического давления p в произвольно взятой точке M, расположенной на глубине h.

Рис. 2.2
Выделим около точки М элементарную горизонтальную площадку dS и построим на ней вертикальный цилиндрический объем высотой h. Рассмотрим условие равновесия указанного объема жидкости, выделенного из общей массы жидкости. Давление жидкости на нижнее основание цилиндра теперь будет внешним и направлено по нормали внутрь объема, т. е. вверх. Запишем сумму всех сил, действующих на рассматриваемый объем в вертикальном направлении:

где последний член представляет собой вес жидкости в указанном объеме. Силы давления по боковой поверхности цилиндра в уравнение не войдут, так как они нормальны к этой поверхности.

Сократив на dS и перегруппировав члены, получим
                                               (2.1)
Полученное уравнение называют основным уравнением гидростатики; оно позволяет определить давление в любой точке покоящейся жидкости. Это давление, как видно из уравнения, складывается из двух величин: давления p0 на внешней поверхности жидкости и давления, обусловленного весом вышележащих слоев жидкости. Величина p0 является одинаковой для всех точек объема жидкости, поэтому, учитывая второе свойство гидростатического давления, можно сказать, что давление, приложенное к внешней поверхности жидкости, передается всем точкам этой жидкости и по всем направлениям одинаково(закон Паскаля).

Поверхность, во всех точках которой давление одинаково, называется поверхностью уровня. В данном случае поверхностями уровня являются горизонтальные плоскости, а свободная поверхность является одной из поверхностей уровня. Возьмем на произвольной высоте горизонтальную плоскость сравнения, от которой вертикально вверх будем отсчитывать координаты z. Обозначим через z координату точки M, через z0 – координату свободной поверхности жидкости и заменив в уравнении (2.1) h на z0 – z, получим
                                         (2.2)

Но так как точка M взята произвольно, то можно утверждать, что для всего рассматриваемого неподвижного объема жидкости

         Координата z называется нивелирной высотой. Величина имеет также линейную размерность и называется пьезометрической высотой. Сумма  называется гидростатическим напором. Таким образом, гидростатический напор есть величина постоянная для всего объема неподвижной жидкости.

Гидростатическое давление и его свойства

Как известно, в покоящейся жидкости возможен лишь один вид напряжений – напряжения сжатия, т. е. гидростатическое давление.
Гидростатическое давление в жидкости имеет следующие два свойства:

  1. На внешней поверхности гидростатическое давление всегда направлено по нормали, внутрь рассматриваемого объема жидкости
    Это свойство непосредственно вытекает из определения давления как напряжения от нормальной сжимающей силы. Под внешней поверхностью жидкости понимают не только поверхности раздела жидкости с газообразной средой или твердыми стенками, но и поверхности элементарных объемов, мысленно выделяемых из общего объема жидкости.
  2. В любой точке внутри жидкости гидростатическое давление по всем направлениям одинаково, т. е. давление не зависит от угла наклона площадки, на которую оно действует в данной точке. Для доказательства этого свойства выделим в неподвижной жидкости элементарный объем в форме прямоугольного тетраэдра с ребрами, параллельными координатным осям и соответственно равными dx, dy и dz ( рис. 2.1).

 

Рис. 2.1

Пусть на выделенный объем жидкости действует единичная массовая сила, составляющие которой равны X,Y и Z. Обозначим через px гидростатическое давление, действующее на грань, нормальную к оси 0x, через py давление, действующее на грань, нормальную к оси 0y, и т. д.

Гидростатическое давление, действующее на наклонную грань, обозначим через pn, а площадь этой грани – через dS. Все эти давления направлены по нормалям к соответствующим площадкам.

Составим уравнения равновесия выделенного объема жидкости сначала в направлении оси 0x.

Проекция сил давления на ось 0x равна

Масса тетраэдра равна произведению его объема на плотность, т. е. , следовательно, массовая сила, действующая на тетраэдр вдоль оси 0x, равна 

Уравнения равновесия тетраэдра запишем в следующем виде:

Разделим это уравнение почленно на площадь , которая равна площади проекции наклонной грани dS на плоскость y0z, и, следовательно,

Будем иметь 

При стремлении размеров тетраэдра к нулю последний член уравнения, содержащий множитель dx, будет также стремиться к нулю, а давления px и pn будут оставаться конечными величинами. Следовательно, в пределе получим, что px - pn =0 или px = pn. Аналогично составляя уравнения равновесия вдоль осей 0y и 0z, после таких же рассуждений получим, что py = pn, pz = pn, т. е.

px = py = pz = pn                                        (2.1)

Так как размеры тетраэдра dx, dy и dz были взяты произвольно, то и наклон площадки dS произволен, и, следовательно, в пределе при стягивании тетраэдра в точку давление в этой точке по всем направлениям будет одинаково.

 

Рассмотренное свойство давления в неподвижной жидкости имеет место также при движении идеальной жидкости. При движении же реальной жидкости возникают касательные напряжения, вследствие чего давление в реальной жидкости указанным свойством, строго говоря, не обладает.